1.1 Bernsteinove polynómy

>Krivky a plochy v CAGD>Krivky>1. Bézierove krivky>1.1 Bernsteinove polynómy

Bernsteinové polynómy tvoria základ pre parametrické vyjadrenie Bézierovej krivky. Napriek tomu, že Bézierovu krivku môžeme definovať aj pomocou rekurzívneho algoritmu, je pre nás vyjadrenie pomocou Bernsteinových polynómov pri skúmaní vlastností Bézierovych kriviek výhodnejšie. Väčšinu vlastností Bézierových kriviek možno buď priamo alebo nepriamo odvodiť z vlastností Bernsteinovych polynómov.

Definícia

Bernsteinove polynómy n-tého stupňa sú definované vzťahom:
B i n t = n i t i 1 − t n − i , pre i = 0 , 1 , . . . , n ,
kde n i = n ! i ! n − i ! 0 ak i < 0 , resp i > n

Nech P_n je vektorový priestor všetkých polynómov stupňa maximálne n s reálnymi koeficientami. Potom

Množina {1,t,...,tⁿ} je tzv. monomiálna báza vektorového priestoru P_n
Bernsteinova báza vektorového priestoru P_n je množina B 0 n t , B 1 n t , . . . , B n n t , kde B i n t sú Bernsteinove polynómy

Z uvedeného ľahko vidieť, že dimenzia vektorového priestoru dim P_n = n+1

Poznámka: Bernsteinová báza je skutočne báza P_n. Tvrdenie vyplýva z faktu, že B i n t môžeme vyjadriť v monomiálnej báze, pričom matica prechodu bude regulárna.

Obrázok 1.1: Bernsteinove polynómy 1. až 3. stupňa

Cvičenia a príklady

Aký je vzťah medzi Bernsteinovou a monomiálnou bázou? Nájdite matematické vyjadrenie prvkov Bernsteinovej bázy v monomiálnej báze pre n=1,2,3.