|
1.2 Vlastnosti Bernsteinovych polynómov
Predtým ako sa pustíme do skúmania Bézierovych kriviek, pozrieme sa na niektoré základné vlastnosti Bernsteinovych polynómov. Keďže Bernsteinove polynómy su súčasťou definície Bézierovych kriviek, poznanie ich vlastností nám pomôže ľahšie pochopiť prípadne dokázať vlastnosti Bézierovych kriviek. Väčšinu uvedených vlastností je možné odvodiť priamo z definície Bernsteinovych polynómov.
Základné vlastnosti:
Pripomeňme
B
i
n
t
=
n
i
t
i
1
−
t
n
−
i
- Rekurzívnosť
B
i
n
t
=
1
−
t
B
i
n
−
1
t
+
t
B
i
−
1
n
−
1
t
, kde
B
0
0
t
≡
1
a
B
j
n
t
≡
0
, pre
j
∉
0
,
.
.
.
,
n
-
Normalizujúca vlastnosť
∑
i
=
0
n
B
i
n
t
=
1
pre všetky
t
∈
0
,
1
-
Nezápornosť
B
i
n
t
≥
0
pre všetky
t
∈
0
,
1
-
Extrémne hodnoty
B
0
n
0
=
1
;
B
i
n
0
=
0
∀
i
≠
0
B
n
n
1
=
1
;
B
i
n
1
=
0
∀
i
≠
n
-
Symetričnosť
B
n
−
i
n
t
=
B
i
n
1
−
t
-
Maximum
B
i
n
t
má práve jedno maximum na intervale <0, 1>, v bode t=i/n
| Cvičenia a príklady |
-
Zamyslite sa nad dôkazom platnosti jednotlivých vlastností Bernsteinových polynómov.
-
Ukážte, že Bernsteinov polynóm
B
i
n
t
má maximum v bode t=i/n. Nájdite maximálnu hodnotu. Ako bude vyzerať maximum pre veľké hodnoty n?
|
|
 |
