1.3.1 Hľadanie polynómu

Na prvý pokus by sme mohli vyskúšať polynómy druhého stupňa. Tieto však majú iba jednu nekonštantnú deriváciu, čo je nepostačujúce pre naše účely. Polynómy 3. stupňa sú vyhovujúce a pritom ešte nie veľmi ťažkopádne.

Našou úlohou je teda nájsť pomocou bodov E₁, E₂ a C₁, C₂ 8 parametrických koeficientov a_x, b_x, c_x, d_x, a_y, b_y, c_y, d_z pre krivku, ktorá je parametrizovaná rovnicami: X t = a x t 3 + b x t 2 + c x t + d x Y t = a y t 3 + b y t 2 + c y t + d y kde t je parameter krivky z uzavretého intervalu <0, 1>.

Pri hľadaní koeficientov musia byť splnené nasledujúce podmienky:

ak t=0 potom X(0)=x₁, Y(0)=y₁
ak t=1 potom X(1)=x₂, Y(1)=y₂
ak t=0 potom E 1 C 1 ¯ = dY dX
ak t=1 potom C 2 E 2 ¯ = dY dX

Vyriešením uvedených rovníc a prepísaním do Bernsteinovej bázy dostaneme: X t = 1 − t 3 x 1 + 3 t 1 − t 2 x 3 + 3 t 2 1 − t x 4 + t 3 x 2 Y t = 1 − t 3 y 1 + 3 t 1 − t 2 y 3 + 3 t 2 1 − t y 4 + t 3 y 2